Reasoning vs Derivation

推理（reasoning）和推導（derivation）在數學裡不完全相同，而推導（derivation）和證明（proof）則有明確層級上的區分。以下根據國際數學與哲學界的公認理論整理：

一、推理 vs 推導

推理（Reasoning） 是最寬泛的概念，指根據已有信息、定義、規律、邏輯規則，把已知聯繫到未知。數學推理包括各種思考方法，如演繹推理（deductive）、歸納推理（inductive）等，是所有數學論證、計算、猜想等的總稱1 2。
推導（Derivation） 是推理中的一種比較「細緻」且「形式化」的行為，指根據現有公理、定理、規則，逐步通過一系列嚴格的數學步驟從假設推出結果。推導強調每一步都合乎系統規則，是一種操作細節很明確的形式3 4 5。

結論：推導屬於推理的一個子集，是特指「操作嚴密、規則明確、可追溯的步步計算與演算」，而一般推理還包括模糊的直覺判斷、猜想等。

二、推導 vs 證明（哪個層級更高？）

1. 定義比較

推導（Derivation）：語義上偏向「根據語法規則，一步步寫出公式、結果」；在邏輯系統裡，推導就是計算和符號規則的操作3 6 5。
證明（Proof）：不僅包含形式嚴密的推導步驟，還要明確闡明假設、目標、為何每一步成立，並以嚴格邏輯說服數學界：命題無疑是正確的。證明對語境解釋、自然語言陳述、是否能令專業社群接受，都有額外要求6 7。

2. 層級關係

數學哲學與邏輯學普遍認同：證明（proof）包含推導（derivation）；形式推導是證明的一部分，但完整證明需要結合語義陳述、邏輯連貫性，以及對語言和規則的全局把控。
證明是數學論證裡「最高層級」的確認手段，而推導是其內部的「步步操作細節」3 6 4 5 7。

3. 為什麼證明層級更高？

因爲證明要求：
- 必須邏輯連貫、語義嚴謹（不僅僅是代數步驟正確）；
- 必須能說服「讀者/審稿人」的共識；
- 常包括數學自然語言和背景原因說明，而不僅僅是形式規則操作6 7。
形式推導（純符號推演）只是證明的一種技術手段，證明還可能需要各種解釋、例證和論據結構的整合。

三、文獻/權威觀點舉要

「推導是證明的形式化內核，證明則結合語義、規範、社群可接受性，遠比推導層級高」3 6 7。
「並非所有推理過程都是推導，推導只是推理中的一種；證明往往要求形式推導做‘基礎’，再加以語言與邏輯補全」1 5。

四、摘要比喻

推理 ≈ 「大腦裡所有數學思考、論證的過程」；
推導 ≈ 「按規則寫出每個合法步驟」；
證明 ≈ 「用邏輯嚴密規則+完整語言論證整個命題，保證被數學界接受」。

結論：

推理和推導不是一回事，推導更狹義，屬於推理的正式化分支。
「證明」比「推導」層級更高：證明包含推導、但又超出推導，因其還要求語義與規範、對社群的說服力3 6 7。