Applied Derivation - In Probabilistic, Statistics and Finance

自學「機率與統計」若不親手做 推導與證明，只會背公式而缺乏判斷力——金融隨機微積分與衍生品定價領域尤為致命。以下匯整論壇經驗帖、部落格、教學筆記，說明為什麼要證明、怎麼動手做，以及在金融應用中的具體做法與資源。

一、機率統計自學：為什麼一定要「推導＋證明」

理由	實務體會（節錄）	來源
深層理解概念，避免「公式黑盒」	「不懂證明，就無法分辨直覺是否可靠。」	Reddit 討論串 1
訓練邏輯與嚴謹度，銜接進階課程	理論取向帶來「更龐大的概念動物園」，不再侷限於算題2	Math.SE 答覆 2
避免錯用機率模型	人類天生對機率「盲目」，需以證明校正直覺3	YouTube 講座 3
培養可複製的推論流程	高校「Proofs & Probability」筆記要求每步寫出依據4	UW 課堂講義 4

直觀例子：從「算答案」到「做證明」

貝氏公式
- 先列條件事件樹，計算 P(A∣B)P(A\mid B)P(A∣B)。
- 再用全機率定理逐步推出公式，最後驗算數值一致。
骰子期望值
- 先用表列法得 E[X]=3.5E[X]=3.5E[X]=3.5。
- 再以定義 E[X]=∑x P(X=x)E[X]=\sum x,P(X=x)E[X]=∑xP(X=x) 形式化證明。
  透過「先算後證」感受公式_必須_成立而非巧合5 6。

二、如何在自學中實踐「推導與證明」

從語言開始：熟悉事件集合、隨機變數定義、σ-代數。
分級練習
- 初級：直接證明（如兩獨立事件聯集機率公式）
- 中級：反證、數學歸納（如 CLT 簡證）
- 進階：使用測度與極限定理（如 LLN 嚴格證明）7 6
寫「雙欄推導」：左列列出公式變形，右列寫出依據，模仿 structured derivations 格式可強迫自己交代每一步理由4 8。

三、金融隨機微積分與衍生品定價：更高層次的推導需求

推導/證明在金融中的作用	具體任務	實戰心得
保證無套利	由資產價格假設出發，證明不存在無風險利潤 ⇒ 導出等價鞅測度9	Columbia 講義：先證 Girsanov，再算價格9
建立定價公式	用 Itô 引理＋自融組合推導 Black-Scholes PDE，再求閉式價	QuantStart 教程逐行演示10
驗證對沖有效性	證明 Δ-hedge 組合為鞅 ⇒ 理論與實盤對沖誤差一致	衍生品課程綱要強調「先證再算」11
處理不完備市場	用鞅表示定價區間，證明最小/最大可接受價	SSRN 論文展示一般框架12

經驗帖摘要

Reddit 自學帖強調「沒量測理論就別急著碰 Itô 引理」13
QuantNet 書單討論「Shreve 卷一先證明鞅性，再進卷二實務」14
LinkedIn 專欄示範「從第一原理推導 Black-Scholes 才能看懂希臘值」15

四、自學路線圖：從推導到金融應用

階段	核心目標	建議材料（含練習證明）
1. 測度機率基礎	掌握極限定理、鞅收斂	QMUL 講義《Notes on Probability》7、Rogers&Williams Vol 1
2. 連續時間過程	證明 Brownian motion 性質、Itô 引理	《Stochastic Calculus for Finance I》Shreve14
3. 定價理論	用無套利＋Girsanov 推導定價公式	Haugh 《Brief Review of Derivatives Pricing》9
4. 進階模型	推導 Heston PDE、驗證特徵函數解	UChicago REU 論文示範全程計算16
5. 實戰驗證	寫程式重現推導結果，對比市場數據	Columbia 課程作業要求列印每步證明11

五、動手示範：Black-Scholes 微推導（摘要）

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1. 假設 dS = μSdt + σS dW 2. 建 Δ 股 + 1 份期權組合 Π ，使 dΠ 中 dW 項係數為 0 3. 由 Itô 引理展開 dV(S,t) 4. 配平得 PDE: ½σ²S²V_SS + rS V_S + V_t - rV = 0 5. 加終值條件 V(S,T)=max(S-K,0) ⇒ 得閉式價

每一步都能對照講義中的證明細節9 10，並用 Python 數值檢驗理論價格與蒙地卡羅模擬一致。

結語

無論是入門機率統計，還是進軍隨機微積分與衍生品定價，推導與證明都是「概念可信度」與「模型可落地」的保險絲。跟隨本文路線逐步練習，先在基礎機率上養成證明習慣，再把同樣的嚴謹度延伸到金融定價，才能在高速變動的市場中做到「看得懂、算得對、用得穩」。